• MATHEMATIQUES FINANCIERES

     

    Emprunts indivis – Annuités (fin de période)

     

           Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i:

     

     

     (3)

    Quelle sera la valeur totale d’une série de versements de 500 euros par mois, versés en fin de période pendant 8 ans au taux de 5,15% par an ?

    Etape 1 : taux mensuel équivalent à 5,15% annuel

    Etape 2 : calcul de la valeur future

    De la formule ci-dessus, on peut facilement déduire a en supposant Vn connu :

     (4)

    Avec les mêmes données que l’exemple précédent (taux et durée), combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100.000 euros au terme des 8 années ?

    Le calcul est direct (nous connaissons déjà le taux mensuel équivalent).

     

     

    Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période

     

     (5)

    Une assurance vie propose deux formules en cas de décès :

    Versement d’un capital unique de 500.000 euros

    Versement d’une rente annuelle de 50.000 euros pendant 12 ans

    En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ?

    Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50.000 euros. en appliquant la formule d’actualisation des annuités constantes :

    Il est donc beaucoup plus intéressant de choisir la rente annuelle pendant 12 ans (à condition que le bénéficiaire survive, lui).

    Prenons le même problème, mais avec un taux d’inflation de 8 %. Le calcul d’actualisation donne dans ce cas une Vo de 376.803,90 euros. On aura donc intérêt à préférer le versement immédiat.

     

     (6)

    Un ami vous demande de lui prêter 10.000 euros, qu’il se propose de vous rembourser en 12 mensualités. Quel montant de mensualité devez-vous lui demander pour vous assurer un taux de 5 % ?

    Calcul du taux proportionnel mensuel à 5 % annuel :

    Calcul de l’annuité : 

    Ce n’est pas encore de l’usure !

    Rappel : une annuité de remboursement (a) comprend une partie d’amortissement du capital emprunté (A) et une partie d’intérêts sur le capital.  

     

      Calcul du premier amortissement d’un emprunt:

     

       (7)

    Soit un emprunt de 100.000 euros remboursable en 10 annuités à 5 %, Calculez :

        • Le montant de l’annuité constante a
        • Le montant de l’amortissement A1 compris dans la première annuité
        • Vérifiez que a – A1 (autrement dit, la part des intérêts compris dans la première annuité) est égal à 5 % du capital emprunté.

    Calcul de l’annuité constante a

     soit 

    Calcul de la part en capital de la première annuité :

    Part des intérêts : soit très exactement 5 % du capital emprunté, ce qui est normal : dans la première annuité, la totalité du capital produit des intérêts pendant toute la première période.

     (8)

    Dans le même exemple que ci-dessus, quel est la répartition entre capital et intérêt des 2ème, 3ème et 4ème annuités ?

    Connaissant A1, on applique la formule : A2=A1(1+0,05), etc. Le montant des intérêts se déduit simplement en retranchant du montant de l’annuité l’amortissement du capital.

    Annuité

    Part en Capital

    Intérêts

    A2

    8.347,98

    4.602,48

    A3

    8.765,38

    4.184,64

    A4

    9.203,65

    3.748,81

     Calcul du capital remboursé Rp après paiement de la Pème annuité

     (9)

    Connaissant le calcul de A1 en fonction de Vo, il est possible de remplacer A1 par :

    Cette formule peut être simplifiée, en éliminant i, et devient :

     (9bis)

    Toujours dans l’exemple ci-dessus, calculez le montant du capital remboursé après paiement de la 3ème échéance.

    Vérification : Nous avons calculé tout à l’heure le montant des amortissements en capital des 4 premières échéances. On peut donc vérifier que la somme des amortissements des trois premières échéances est bien égale au montant calculé :

    7.950,46 + 8.347,98 + 8.765,38 =25.063,82.

    Compte tenu des arrondis successifs, l’écart d’1 centime n’est pas significatif.

     

    Calcul du capital Vp restant à rembourser après paiement de la pème annuité 

     (10)

    Toujours sur le même exemple, quel est le capital restant à rembourser après paiement de la 3ème échéance ?

    Vérification : Nous avons calculé le capital remboursé et le capital restant à rembourser après la troisième échéance. La somme de ces deux chiffres doit logiquement être égale au capital initial :

    74.936,20 + 25063,83 = 100.000,03

    Les centimes d’écart sont dus aux arrondis. Ils se régularisent normalement sur la dernière échéance de l’emprunt.

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