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Le simplexe
LE SIMPLEXE
I - EXEMPLE :
Forme canonique
2x+y≤800
x+2y≤700
yœ300
Forme standard
2x+y+e1=800
x+2y+e2=700
y+e3=300
Il y a autant de variables d'écart que d'inéquations
Fonction économique à maximiser :
30000x+40000yx y e1 e2 e3 e1 2 1 1 0 0 800 e2 1 2 0 1 0 700 e3 0 1 0 0 1 300 30m 40m 0 0 0
Variable entrante = coef>0 de la fonction objectif le plus grand (40M)
Variable sortante = plus petit dernier terme/coefficient colonne (700/2)
Transformation de la matrice :
Pivot = intersection variable entrante et sortante
Dans la colonne du pivot : on met un 1 à la place du pivot et un 0 ailleurs
Sur la ligne du pivot : on garde les mêmes coefficients
Calcul des autres coefficients : coef-(coef ligne pivot*coef colonne pivot)/pivot
On a atteint la solution optimale lorsque tous les coefficients sont négatifs ou nulsx y e1 e2 e3 e1 2 0 1 0 -1 500 e2 1 0 0 1 -2 100 y 0 1 0 0 1 300 30m 0 0 0 -40m -12M x y e1 e2 e3 e1 0 0 1 -2 -3 300 x 1 0 0 1 -2 100 y 0 1 0 0 1 300 0 0 0 -30m -20m -15M
Donc solution optimale : x=100 y=300
30mx+40my=15M
e1 non saturé
e2 et e3 saturés (=0) car hors base
II - TRANSFORMATION D'UN PROGRAMME PRIMAL EN DUAL
PRIMAL
A 18x+18y≥9000
B 6x+24y≥6000
C 20x+6y≥7200
x et y≥0
MIN : 1200x+1000y
DUAL
18a+6b+20c≤1200
18a+24b+6c≤1000
MAX : 9000a+6000b+7200c
III - PROCESSUS DE RESOLUTION1) Formalisation du problème sous forme canonique
Les contraintes sont exprimées sous forme d'inéquations
2) Passage à la forme standard
Les inéquations sont remplacées par des équations et on introduit des variables d'écart
3) Résolution du pb
Si nb variables ≤ 3 ® résolution graphique ou algébrique
Si nb variables > 3 ® résolution par le simplexe
4) Détermination de la sol de départ
5) Détermination de la sol optimale
Dans le cas de la maximisation, les coefficients de la fonction sont tous négatifs, les variables hors base sont négatives et les variables en base sont nulles
Dans le cas de la minimisation, les coefficients de la fonction sont tous positifs, les variables hors base sont positives et les variables en base sont nullesOUTGDA Mektar
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