ECHANTILLONNAGE

Soit dans une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l'espérance mathématique m, la proportion p et l'écart type s sont connus


Pop Ω=ensemble d'échantillons


I - POPULATION (Ω)
Taille=N     Moyenne=m
Proportion=p
Variance=s²     Ecart type=s

II - ECHANTILLON
Taille=n     Moyenne=х
Proportion=f
Variance=s'²     Ecart type=s'



III - ECHANTILLONNAGE DES MOYENNES

1) Variable aléatoire : X

2) Espérance mathématique : E(X)=m

3) Ecart type : s(X)=s/√(n)
! si échantillon exhaustif

4) Loi de probabilité :
Si n≥30 ou si X suit une loi normale
X®N(m,s/√(n))

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APPROXIMATION D'UNE LOI USUELLE PAR UNE AUTRE

I - APPROXIMATION D'UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON

B(n,p)®P(l) avec l=np si p≤.1 n≥50 et np<5


II - APPROXIMATION D'UNE LOI BINOMIALE PARUNE LOI NORMALE

B(n,p)®N(m,s) avec m=np et s=√(np(1-p)) si n≥30 et np(1-p)≥3


III - APPROXIMATION D'UNE LOI DE POISSON PAR UNE LOI NORMALE

P(l)®M(m,s) avec m=s et s=√(l) si l≥20

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LOIS USUELLES

I - LOI BINOMIALE
B(n,p)
P(x=r)=nCr*(p^r)*(1-p)^(n-r)
E(x)=np
V(x)=np(1-p)

II - LOI DE POISSON
P(λ)
P(x=r)=[e^(-λ)*λ^r]/r!
E(x)=λ
V(x)=λ

III - LOI NORMALE
N(m,sx)
E(x)=m
V(x)=sx²

Changement de variable :
T=(x-m)/sx

P(x≤k)=P(T≤t)=P(t)
P(x≤-k)=P(-t)=1-P(t)

P(x≥k)=1-P(t)
P(x≥k)=1-(1-P(t))=P(t)

P(t1≤T≤t2)=P(t2)-P(t1)
P(-t≤T≤t)=2P(t)-1



IV - CALCUL DE LA SOMME, DE LA DIFFERENCE ET DU PRODUIT DE 2 LOIS NORMALES

X1®N(m1,sx1)
X2®N(m2,sx2)

X1+X2®N(m1+m2,√(sx1²+sx2²))
X1-X2®N(m1-m2,√(sx1²+sx2²))
X1*X2®N(m1*m2,sx1*sx2)



NB : UTILISATION DES PROGRAMMES
P(X=k)®BinomPdf(n,p,k)
            ®PoissPdf(λ,k)

P(X≥k)®BinomCdf(n,p,k)
            ®PoissCdf(λ,k)

P(X<k)®BinomPdf(n,p,k-1)
            ®PoissPdf(λ,k-1)

P(X≥k)=1-P(X<k)

P(X>k)=1-P(X≤k)</k)
</k)

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VARIABLES ALEATOIRES

I - LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
Elles peuvent prendre un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs entières
E(X)=åxipi
V(X)=E(X²)-E(X)
s(X)=√(0(X))


1) Propriétés de E(X) :
E(aX)=aE(X)
E(aX+b)=aE(X)+b

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(XY)=E(X)*E(Y)


2) Propriétés de V(X) :
V(aX)=a²V(X)
V(aX+b)=V(aX)

Si X et Y sont indépendantes :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)

Si X et Y ne sont pas indépendantes :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2COV(X,Y) avec COV(X,Y)=E[(X-E(X)(Y-E(Y)]


II - LES VARIABLES ALEATOIRES CONTINUE
Elles peuvent prendre toutes les valeurs comprises dans un intervalle (a,b)

1) Fonction de répartition
F(X)=P(X<x)     Fonction strictement croissante


2) Densité de probabilité
P(a≤X≤b)=∫(a,b)f(X)d(x) = F(b)-F(a)


E(X)=∫(a,b)xf(X)d(x)
V(X)=∫(a,b)x²f(X)d(x)-[E(X)]²
s(X)=∫(V(X))

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LES LOIS DE PROBABILITE

I - ANALYSE COMBINATOIRE

1) Les Permutations : c'est la disposition ordonnée de n éléments parmi n

Pn=n!

Exemple :
Nombre de possibilités de placer 4 personnes sur un canapé disposant de 4 places?
P=4*3*2*1=24


2) Les Arrangements : c'est la disposition ordonnée de p éléments parmi n

nAp=n!/(n-p)!     Fonction nPr(n,p) dans la calculatrice

Exemple :
Nombre de possibilités d'affecter 7 personnes à 3 postes?
P=7*6*5=210
nPr(7,3)=210


3) Les Combinaisons : c'est la disposition non ordonnée de p éléments parmi n

nCp=n!/(p!(n-p)!)     Fonction nCr(n,p) dans la calculatrice

Exemple :
Nombre de possibilités de former une main de 13 cartes dans un jeu de 52?
P=32!/(8!24!)
nCr(32,8)=10518300


II - CONCEPTS DE BASE

1 ) Evènements indépendants (càd incompatibles)
P(AÈB)=P(A)+P(B)
P(AÇB)=Ø
P(A/B)=P(A)

Exemple 1 :
Probabilité de tirer un trèfle ou un roi de coeur dans un jeu de 32 cartes?
P(RÈT)=8/32+1/32=9/32


2) Evènements dépendants (càd compatibles)
P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB)
P(AÇB)=P(A)*P(B)

P(A/B)=P(AÇB)/P(B)

Exemple 1 :
Probabilité de tirer un roi ou un trèfle dans un jeu de 52 cartes?
P(RÈT)=4/52+13/52-1/52
=4/13

Exemple 2 :
Probabilité de tirer un roi sachant qu'il s'agit d'un trèfle dans un jeu de 52 cartes?
P(R/T)=(1/52)/(13/52)

Exemple 3 :
Une urne contient 6 boules R, 12 J et 8 V. On tire 2 boules sans remise. Quelle est la probabilité de tirer 1 J puis 1 R
P(JÇR)=P(J)*P(R/J)=12/26*6/25


III - THEOREME DE BAYES
Ce théorème permet de modifier les probabilités initiales attribuées à différents évènements en fonction d'une information nouvelle

P(A/B)=[P(A)*P(B/A)]/P(B)
 

IV - BINOME DE NEWTON
Le triangle de Pascal indique les coefficients des développements du binôme de Newton
(a+b)^n=å(0,n) a^(n-p)*b^p

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