• approximation d'une loi usuelle par une autre

    Par mektar dans MATHEMATIQUES FINANCIERES le 1 Octobre 2012 à 23:40

     

    APPROXIMATION D'UNE LOI USUELLE PAR UNE AUTRE

     

    I - APPROXIMATION D'UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON

    B(n,p)®P(l) avec l=np si p≤.1 n≥50 et np<5


    II - APPROXIMATION D'UNE LOI BINOMIALE PARUNE LOI NORMALE

    B(n,p)®N(m,s) avec m=np et s=√(np(1-p)) si n≥30 et np(1-p)≥3


    III - APPROXIMATION D'UNE LOI DE POISSON PAR UNE LOI NORMALE

    P(l)®M(m,s) avec m=s et s=√(l) si l≥20

    OUTGDA Mektar


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  • Echantillonnage

    Par mektar dans MATHEMATIQUES FINANCIERES le 1 Octobre 2012 à 23:41

     

    ECHANTILLONNAGE

     

    Soit dans une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l'espérance mathématique m, la proportion p et l'écart type s sont connus


    Pop Ω=ensemble d'échantillons


    I - POPULATION (Ω)
    Taille=N     Moyenne=m
    Proportion=p
    Variance=s2     Ecart type=s


    II - ECHANTILLON
    Taille=n     Moyenne=х
    Proportion=f
    Variance=s'2     Ecart type=s'



    III - ECHANTILLONNAGE DES MOYENNES

    1) Variable aléatoire : X

    2) Espérance mathématique : E(X)=m

    3) Ecart type : s(X)=s/√(n)
    ! si échantillon exhaustif

    4) Loi de probabilité :
    Si n≥30 ou si X suit une loi normale
    X®N(m,s/√(n))

    OUTGDA Mektar


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  • Estimation

    Par mektar dans MATHEMATIQUES FINANCIERES le 1 Octobre 2012 à 23:42

    ESTIMATION

     

    Soit dans une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l'espérance mathématique m, la proportion p et l'écart type s sont inconnus



    I - ESTIMATION DES CARACTERISTIQUES INCONNUES DE Ω

    1) Moyenne m (inconnue) :
    m=х

    2) Proportion p (inconnue) :
    p=f

    3) Ecart type s (inconnu):
    s=s
    s=s'√(n/n-1)®moyenne
    s=√(f(1-f)/n)®proportion

    4) Variance s2 (inconnue) :
    s2=s2
    s2=s'2*(n/(n-1))
    s2=f(1-f)/n



    II - ESTIMATION PAR UN INTERVALLE DE CONFIANCE
    Si s connu®S(x) et si X suit une loi N ou n≥30

    1) Echantillon des moyennes :
    X®N(m,s/√(n))

    2) Echantillon des proportions :
    F®N(p,√(p(1-p)/n))

    3) COEFFICIENT DE CONFIANCE :
    2P(t)-1=p
    p=.95 <=> t=1.96
    p=.99 <=> t=2.575


    4) Intervalle de confiance de l'échantillonnage des moyennes :

    [х-ts/√(n);х+ts/√(n)]


    5) Intervalle de confiance de l'échantillonnage des proportions :

    [f-t√(f(1-f)/n);f+t√(f(1-f)/n)]

    OUTGDA Mektar


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  • Tests de validité d'hypothèse

    Par mektar dans MATHEMATIQUES FINANCIERES le 1 Octobre 2012 à 23:43

     

    TESTS DE VALIDITE D'HYPOTHESE

     

    I - TEST BILATERAL
    H0 : m=m0
    H1 : m≠m0
    α=seuil de risque
    1-α=seuil confiance

    P(m0-k<х<m0+k)=1-α

    2P(t)-1=1-α

    1) Moyenne
    H0 accepté si х appartient à :
    [m0-ts/√n;m0+ts/√n]

    2) Proportion
    H0 accepté si х appartient à :
    [p-t√(p(1-p)/n);p+t√(p(1-p)/n)]
     


    II - TEST UNILATERAL
    H0 : m=m0
    H1 : m<m0 ou m>m0
    α=seuil de risque
    1-α=seuil confiance

    p(х<m0+k) ou P(х>m0-k)=1-α

    P(t)=1-α

    1) Moyenne
    H0 accepté si х appartient à :
    [m0-ts/√n;+∞[ ou ]-∞;m0+ts/√n]

    2) Proportion
    H0 accepté si х appartient à :
    [p-t√(p(1-p)/n);+∞[ ou ]-∞;p+t√(p(1-p)/n)]

    OUTGDA Mektar


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  • Le simplexe

    Par mektar dans MATHEMATIQUES FINANCIERES le 1 Octobre 2012 à 23:46

     

    LE SIMPLEXE

     

    I - EXEMPLE :
    Forme canonique
    2x+y≤800
    x+2y≤700
    yœ300

    Forme standard
    2x+y+e1=800
    x+2y+e2=700
    y+e3=300

    Il y a autant de variables d'écart que d'inéquations

    Fonction économique à maximiser :
    30000x+40000y

      x y e1 e2 e3  
    e1 2 1 1 0 0 800
    e2 1 2 0 1 0 700
    e3 0 1 0 0 1 300
      30m 40m 0 0 0  


    Variable entrante = coef>0 de la fonction objectif le plus grand (40M)
    Variable sortante = plus petit dernier terme/coefficient colonne (700/2)

    Transformation de la matrice :
    Pivot = intersection variable entrante et sortante
    Dans la colonne du pivot : on met un 1 à la place du pivot et un 0 ailleurs
    Sur la ligne du pivot : on garde les mêmes coefficients
    Calcul des autres coefficients : coef-(coef ligne pivot*coef colonne pivot)/pivot

    On a atteint la solution optimale lorsque tous les coefficients sont négatifs ou nuls

      x y e1 e2 e3  
    e1 2 0 1 0 -1 500
    e2 1 0 0 1 -2 100
    y 0 1 0 0 1 300
      30m 0 0 0 -40m -12M

     

      x y e1 e2 e3  
    e1 0 0 1 -2 -3 300
    x 1 0 0 1 -2 100
    y 0 1 0 0 1 300
      0 0 0 -30m -20m -15M


    Donc solution optimale : x=100 y=300
    30mx+40my=15M
    e1 non saturé 
    e2 et e3 saturés (=0) car hors base



    II - TRANSFORMATION D'UN PROGRAMME PRIMAL EN DUAL

    PRIMAL
    A 18x+18y≥9000
    B 6x+24y≥6000
    C 20x+6y≥7200
    x et y≥0
    MIN : 1200x+1000y


    DUAL
    18a+6b+20c≤1200
    18a+24b+6c≤1000
    MAX : 9000a+6000b+7200c



    III - PROCESSUS DE RESOLUTION

    1) Formalisation du problème sous forme canonique
    Les contraintes sont exprimées sous forme d'inéquations


    2) Passage à la forme standard
    Les inéquations sont remplacées par des équations et on introduit des variables d'écart


    3) Résolution du pb
    Si nb variables ≤ 3 ® résolution graphique ou algébrique
    Si nb variables > 3 ® résolution par le simplexe


    4) Détermination de la sol de départ


    5) Détermination de la sol optimale
    Dans le cas de la maximisation, les coefficients de la fonction sont tous négatifs, les variables hors base sont négatives et les variables en base sont nulles
    Dans le cas de la minimisation, les coefficients de la fonction sont tous positifs, les variables hors base sont positives et les variables en base sont nulles

    OUTGDA Mektar


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